Справочник по Школьной математике

20.07.2025 | Категория: Учебные материалы

Справочник по Школьной математике

Категория: Математика

1. Числа, дроби, модули

2. Формулы сокращенного умножения

3. Степени и корни

4. Квадратные уравнения

5. Прогрессии

6. Логарифмы

7. Тригонометрия

7.1. Основные соотношения

7.2. Перевод из радианной меры углов в градусную и обратно

7.3. Основные значения тригонометрических функций

7.4. Знаки тригонометрических функций

7.5. Формулы сложения

7.6. Формулы двойных углов

7.7. Формулы тройных углов

7.8. Формулы половинных углов

7.9. Формулы приведения

7.10. Формулы преобразования суммы и разности

7.11. Формулы преобразования произведения

7.12. Обратные тригонометрические функции

7.13. Простейшие тригонометрические уравнения

8. Основные элементарные функции

9. Планиметрия

9.1. Треугольник

9.1.1. Основные величины и соотношения

9.1.2. Замечательные точки и линии в треугольнике

9.1.3. Формулы площади треугольника

9.1.4. Прямоугольный треугольник

9.1.5. Правильный треугольник

9.2. Четырехугольники

9.2.1. Квадрат

9.2.2. Прямоугольник

9.2.3. Параллелограмм

9.2.4. Ромб

9.2.5. Трапеция

9.3. Окружность и круг

10. Стереометрия

10.1. Куб

10.2. Параллелепипед

10.3. Пирамида

10.4. Усеченная пирамида

10.5. Цилиндр

10.6. Конус

10.7. Усеченный конус

10.8. Сфера и шар

1. Числа, дроби, модули

Множества:

Æ - пустое множество

N = {1, 2, 3, …} - множество натуральных чисел 

Z =  - множество целых чисел

Q =  - множество рациональных чисел (дробей)

R – множество вещественных (действительных) чисел

Арифметические операции с дробями:

,  ;  ;  ;  ;  ;  ;

Пропорция:  ;

Модуль числа:

Определение:  ;

Свойства модуля:

;  ;
;  ; 
;

  ;

2. Формулы сокращенного умножения

;

;

;

;

;

;

;

3. Степени и корни

;  ;  ;  ;
;  ;  ;  ;  ;  ;  ;

Показательные неравенства:

.

4. Квадратные уравнения

;  .

Корни уравнения:  , где   - дискриминант.

Формулы Виета:  ;  , где x1 и x2 – корни квадратного уравнения.

Разложение квадратного трехчлена на множители:

.

Приведенное уравнение:
;
.

Квадратное неравенство:

если D>0 , a>0,  , то   - "решение за корнями"

 - "решение между корнями", где   - корни квадратного трехчлена.

5. Прогрессии

Арифметическая прогрессия: 

Общий член:  ,  , где  - разность прогрессии;

Частичная сумма:  .

Геометрическая прогрессия: 

Общий член:  , где   - знаменатель прогрессии;

Частичная сумма:  .

Сумма бесконечно-убывающей геометрической прогрессии (при  ):  .

Некоторые суммы:

;  ;

;

;  ;

6. Логарифмы

Логарифм числа   по основанию  :

.

Основное логарифмическое тождество:  .

Свойства логарифмов:

;  ;

;  ;
.

Десятичные логарифмы
:  .

Натуральные логарифмы
:  .

Логарифмическое неравенство:

.

7. Тригонометрия

7.1. Основные соотношения

;  ;
;

;  ;  ;

;
.

7.2. Перевод из радианной меры углов в градусную и обратно

;  ;

7.3. Основные значения тригонометрических функций

7.4. Знаки тригонометрических функций

7.5. Формулы сложения

;

;

;

;

;  ;

;  ;

7.6. Формулы двойных углов

;

;

;  ;

7.7. Формулы тройных углов

;  ;

;  ;

7.8. Формулы половинных углов

;  ;

 ;  ;

;

Универсальная тригонометрическая подстановка, используемая для решения тригонометрических уравнений:

;  ;  ;  ;

7.9. Формулы приведения

7.10. Формулы преобразования суммы и разности

;

;

;

;

,
где  ;

;  ;

;  .

7.11. Формулы преобразования произведения

;

;

.

7.12. Обратные тригонометрические функции

;

;

;

.

7.13. Простейшие тригонометрические уравнения

1)  ;  ;  .

Частные случаи:  ;  ;

;  ;

;  .

2)  ;  ;  .

Частные случаи:  ;  ;

;  ;

;  .

3)  ,  ;  .

4)  ;  ;  .

8. Основные элементарные функции

8.1. Таблица основных элементарных функций

8.2. Графики основных элементарных функций

9. Планиметрия

— раздел евклидовой геометрии, изучающий двумерные (одноплоскостные) фигуры, то есть фигуры, которые можно расположить в пределах одной плоскости.

9.1. Треугольник

9.1.1. Основные величины и соотношения

Неравенства треугольника:  .

Сумма внутренних углов треугольника:  ;

теорема проекций:  ;

теорема синусов:  ;

теорема косинусов:  ;

9.1.2. Замечательные точки и линии в треугольнике

Точка пересечения медиан треугольника – центр тяжести.

Точка пересечения высот – ортоцентр.

Точка пересечения биссектрисс – центр вписанной окружности.

Точка пересечения серединных перпендикуляров – центр описанной окружности.

Медианы, проведенные из вершин A, B, C соответственно: ma, mb, mc

.

Разбиение треугольника медианами:

;

;

.

Высоты, проведенные из вершин A, B, C соответственно: ha, hb, hc

;

.

Биссектрисы, проведенные из вершин A, B, C соответственно: la, lb , lc

.

Свойство биссектрисы треугольника:

.

9.1.3. Формулы площади треугольника

;  ;

;  ;

Формула
Герона:  .

9.1.4. Прямоугольный треугольник

 или  , где CD =hc - высота, опущенная на гипотенузу,  .

Подобия в прямоугольном треугольнике:

 :  :  ;

 :  :  ;

 :  :  .

9.1.5. Правильный треугольник

p=3a/2;

;

  ; 

;  .

9.2. Четырехугольники

Обозначения:

S – площадь, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной
окружности, d – диагональ.

9.2.1. Квадрат

S=a2;

  .

9.2.2. Прямоугольник

p=a+b (p - полупериметр)

S=ab 

9.2.3. Параллелограмм

p=a+b (p - полупериметр)

9.2.4. Ромб

9.2.5. Трапеция

Свойства трапеции:

1. Во всякой трапеции середины оснований К, М лежат на прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей О и точку пересечения продолжений боковых сторон.

2. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

  .

9.3. Окружность и круг

Длина окружности: ;  

длина дуги окружности:  ;  ; (n - величина дуги в градусах, j - величина дуги в радианах).

Площадь круга:  ;

п лощадь кольца:  ;

площадь сектора:  , г де a - величина дуги в градусах.

Свойства окружности: 1) касательная и радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярны: r ^ l.

2) отрезки касательных, проведенные к окружности из точки, лежащей вне ее, равны: AB = AC

3) диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам; диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей:

4) квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на ее внешнюю часть:

AB2 =  .

5) центры касающихся окружностей О1, О2 и точка их касания М лежат на одной прямой.

6) в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны:

AD + BC = AB
+ CD.

7) около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 1800:

.

- из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность;

- около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая;

8) центральный угол измеряется градусной мерой дуги, на которую он опирается:

9) величина вписанного угла в два раза меньше центрального угла, опирающегося на эту же дугу:

10) вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, имеют одинаковую величину:

10. Стереометрия

10.1. Куб

Объем: 

Площадь поверхности: 

10.2. Параллелепипед

Объем:  , где S осн - площадь основания, h – высота.

Прямоугольный параллелепипед

Объем: V= abc.

Площадь поверхности: S = 2(ab + bc + ac);

d2 = a2 + b2 + c2 , где d - диагональ.

10.3. Пирамида

Объем:  .

10.4. Усеченная пирамида

Объем:  , где S1, S2 – площади оснований.

10.5. Цилиндр

Объем:  .

Площадь боковой поверхности:  .

Площадь полной поверхности:  .

10.6. Конус

Объем:  .

Площадь полной поверхности:  .

10.7. Усеченный конус

Объем:  .

Площадь полной поверхности:  .

10.8. Сфера и шар

Объём шара:  , где R – радиус сферы (шара).

Площадь сферы:  .