Обработка результатов прямых измерений

06.04.2025 | Категория: Учебные материалы

6. Обработка результатов прямых измерений

6.1. Систематические погрешности измерений

6.1.1. Классификация систематических погрешностей измерений

Систематические погрешности измерений , являются постоянными или изменяются известным образом при проведении серии измерений. Систематические погрешности принципиально могут быть исключены из измерений на основе определения их значений с использованием математических моделей, уменьшены на основе усовершенствования метода измерения. Общепринятой является следующая классификация видов систематических погрешностей.

Методические погрешности , иногда называемые погрешностями метода или теоретическими погрешностями. Они обусловлены особенностями применяемого метода (способа) измерения, а также являются следствием тех или иных принятых допущений или упрощений при разработке измерительного алгоритма, например, при измерении массы тела часто пренебрегают силой Архимеда.

Инструментальные погрешности или приборные погрешности вносятся измерительными средствами. Они возникают из-за возможного влияния на измеряемые величины измерительных средств, благодаря особенностям их устройства, вследствие несовершенства или неправильности технологии изготовления конструкций, по причине износа, старения или частичной неисправности их элементов, из-за действия внешних факторов, в том числе неправильной установке или настройке и т. д..

Субъективные погрешности , могут присутствовать в измерениях благодаря систематически действующим факторам, которые порождаются индивидуальными психофизиологическими особенностями человека, осуществляющего измерения.

По характеру изменений в результате проведения последовательности измерений систематические погрешности делятся на следующие виды:

• постоянные систематические погрешности. Они не меняют своего значения при проведении последовательности измерений;

• трендовые систематические погрешности. Они монотонно возрастают или убывают при проведении последовательности измерений;

• периодические систематические погрешности. Они изменяются периодически при проведении последовательности измерений.

Приведем классификацию основных физических факторов, приводящих к возникновению систематических погрешностей в измерениях.

Фактор температурных полей. Температурные поля порождают изменения геометрических размеров частей конструкций и физических параметров составляющих элементов измерительных средств и обуславливают возникновение неконтролируемых теплопритоков.

Фактор магнитных и электрических полей. Магнитные и электрические поля влияют как на электронные компоненты измерительных средств, формируя различные помехи в различных частотных диапазонах, так и на механические компоненты, приводят к намагничиванию и электростатическому взаимовлиянию различных частей измерительных средств.

Фактор атмосферного давления и влажности воздуха. Атмосферное давление влияет на характер протекания различных теплотехнических процессов, изменяя, в частности, термодинамические характеристики составляющих компонентов измерительных средств. Влажность воздуха, в ряде случаев, из-за гигроскопичности материалов элементов измерительных средств, приводит к изменению их физических параметров.

Фактор вибраций и шумов. Превышение норм уровней вибраций и шума приводит к изменениям параметров механических конструкций и электронных составляющих элементов измерительных средств.

6.1.2. Методы уменьшения (устранения) систематических погрешностей в измерениях

Уменьшение методических и инструментальных систематических погрешностей, возникающих из-за особенностей конструкций, методик измерения и, в ряде случаев, вследствие влияющих внешних факторов, в наиболее общем случае может быть произведено на основе использования детальной и точной математической модели измерительного средства. С помощью модели проводится моделирование работы исследуемого измерительного средства с помощью ЭВМ. Результаты моделирования могут обеспечить получение необходимой численной оценки систематической погрешности.

Уменьшение инструментальных систематических погрешностей измерений из-за внешних факторов, как правило, реализуется на основе проведения специальных технических мероприятий.

Уменьшение температурных систематических погрешностей из-за возмущающих факторов температурных полей осуществляется, как правило, на основе термостатирования. В этом случае измеряемый объект помещается в специальные условия (термостат), которые позволяют поддерживать постоянную температуру, соответствующую температуре нормальной работы измерительной техники.

Наиболее распространенный способ снижения возникающих систематических погрешностей от фактора магнитных и электрических полей состоит в экранировании измерительных средств или их частей.

Снижение влияния фактора давления и влажности на систематические погрешности измерений обеспечивается с помощью герметизации помещения, герметизации измерительных средств и применения систем технологического кондиционирования воздуха. В ряде случаев действие рассматриваемых факторов может быть уменьшено путем помещения объекта измерения и измерительного средства в специальные барокамеры с регулируемым давлением, влажностью и температурой.

Влияние факторов вибраций и шума на систематические погрешности измерений устраняется с помощью уменьшения уровней вибраций и шумов от технических объектов, которые воздействуют на измерительные средства.

Субъективные систематические погрешности уменьшаются или устраняются на основе точного соблюдения инструкций и методических указаний при проведении измерений. Некоторые погрешности субъективного характера исключаются в процессе проведения независимых повторных измерений несколькими лицами.

Уменьшение (устранение) систематических погрешностей достигается с помощью совершенствования измерительных технологий. Приведем описания наиболее распространенных методов.

Метод замещения заключается в том, что измеряемый объект, после проведения первого измерения с некоторой систематической погрешностью, заменяют известной эталонной мерой, находящейся в тех же условиях, в каких находится измеряемый объект. Затем проводится второе измерение, подбором регулируется такое значение меры, которое обеспечивает совпадение результата второго измерения с первым. Подобранное значение эталонной меры, очевидно, может служить результатом измерения без систематической погрешности.

Метод компенсации погрешности по знаку состоит в исключении систематической погрешности на основе проведения дополнительного измерения. Метод компенсации реализуется, когда имеется техническая возможность организовать процедуры измерения таким образом, чтобы неизвестная систематическая погрешность вошла в результат измерения с противоположным знаком по отношению к первоначальному измерению. В усредненном результате устраняется систематическая погрешность.

Метод нескольких независимых измерительных средств, отличающихся принципом действия, конструкцией или используемым метрологическим методом, состоит в том, что в наборе произведенных измерений одной и той же физической величины разными средствами отбрасываются измерения с заметными грубыми погрешностями, оставшиеся измерения усредняются.

6.1.3. Вычисление систематических погрешностей в измерениях

При измерениях в лабораториях физического практикума принимается следующие правила:

1. Методической погрешностью можно пренебречь или ее величину можно оценить.

2. Инструментальная (приборная) погрешность является систематической погрешностью и определяется особенностями измерительных приборов.

3. Погрешности, обусловленные объектом измерения, и субъективные погрешности имеют только случайный характер.

4. Точность показаний исправных измерительных приборов и устройств гарантируется.

Метод определения приборной погрешности, как правило, приводится в паспорте прибора. Для характеристики большинства приборов используется понятие класса точности прибора. Класс точности указывается на панели прибора и может принимать следующие значения: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. По классу точности наибольшая абсолютная инструментальная погрешность определяется по формуле:

, (6.1)

где - класс точности прибора, - наибольшее значение шкалы измерительного прибора.

Из формулы (6.1) следует, что относительная погрешность измерения прибором будет меньше, если отброс стрелки прибора будет находиться во второй половине шкалы. Это условие используется при выборе измерительного прибора, а в случае если прибор имеет несколько пределов измерения, то по нему определяют соответствующий предел.

Формулу (6.1) будем использовать для определения инструментальной погрешности, если отсутствует паспорт прибора. При наличии паспорта будем использовать те рекомендации, которые указаны в паспорте.

Инструментальная погрешность приборов для измерения линейных размеров указана на самом приборе. Например, штангенциркуль с пределами измерения 0 – 125 мм и ценой деления нониуса 0,1 мм допускают приборную погрешность 0,1мм, штангенциркуль с пределами измерений 0 – 150 мм и ценой деления нониуса 0,05 мм допускает приборную погрешность 0,05 мм.

Если на приборе не указан ни класс точности, ни абсолютная погрешность, то она принимается равной половине цены деления шкалы. Например, на рисунке 2 представлен результат измерения длины предмета металлической миллиметровой линейкой.

Рис.2 Измерительная линейка

Для приборов с цифровым отсчетом измеряемых величин метод вычисления абсолютной погрешности приводится в паспорте. Если паспорт отсутствует, то за абсолютную инструментальную погрешность принимается значение, равное единице последнего цифрового разряда индикатора. Обозначим инструментальную погрешность .

Инструментальную погрешность невозможно уменьшить увеличением числа отсчетов. Ее можно уменьшить, если использовать более точные, чем в предыдущем измерении, приборы и методики.

6.2. Определение случайной погрешности

Случайные погрешности приводят к тому, что наблюдаемые значения измеряемой величины при многократных измерениях случайным образом рассеяны относительно ее истинного значения. Тогда действительное значение находится как наиболее вероятное из серии опытов, а погрешность характеризуют шириной интервала, который с заданной вероятностью включает истинное значение. Математическое обоснование этих положений дается в теории вероятностей, применение которой для обработки результатов измерений приведено в литературе , а непосредственное применение к работам физического практикума в литературе .

Очень часто студенты и школьники находят погрешность измерения по формуле

, (6.2)

где - полученное в процессе измерения среднее значение величины, а - значение, взятое из справочника, или рассчитанное из теоретических представлений. Такое определение погрешности является грубой ошибкой, так как целью эксперимента, как было показано выше, является проверка теоретических представлений и уточнение табличных данных.

Кроме того, часто погрешность вычисляется как среднее значение отклонений отдельных результатов измерений от среднего значения по формуле

. (6.3)

Согласно такому подходу, любое значение погрешности появляется одинаково часто, т.е. разные по величине погрешности считаются равновероятными. Этот метод можно использовать в лабораторных работах при малом числе измерений.

Однако случайные погрешности не являются равновероятными. Они требуют для своего определения статистической обработки результатов измерения. Поэтому представляется необходимым рассмотреть содержание статистической обработки результатов измерений. В основе статистической теории погрешностей лежат следующие положения:

1. при большом числе измерений наблюдаются случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака, т. е. погрешности, как в сторону уменьшения, так и в сторону увеличения, встречаются одинаково часто;

2. большие (по абсолютной величине) погрешности встречаются реже, чем малые, т.е. вероятность появления погрешности уменьшается с ростом величины погрешности;

3. погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений.

Распределение случайной величины, которое подчиняется перечисленным свойствам, называется нормальным распределением. Для оценки разбросов отдельных значений случайной величины с нормальным распределением или отдельных отсчетов в теории нормального распределения выбирается выборочное среднее квадратичное отклонение отсчетов, которое вычисляется по формуле:

. (6.4)

Оценка величины погрешности одного измерения, определяемая формулой (6.4) очень важна. Однако для измерения важной задачей является определение, с какой точностью среднее значение измеряемой величины соответствует искомой величине. Эта задача возникает в связи с тем, что среднее значение может быть получено из разных измерений. Например, среднее значение может быть получено при различном числе измерений. Поэтому эмпирическое среднее значение также является случайной величиной, которая также может описываться функцией распределения. Соответствующая этой функции величина среднего квадратичного отклонения определяется, как показано в теории вероятностей по формуле:

(6.5)

Эта величина называется выборочным средним квадратичным отклонением среднего значения или стандартной ошибкой.

Как видно из формулы стандартной ошибки (6.5), она уменьшается с ростом числа измерений и точность результата возрастает, что и соответствует предыдущим рассуждениям.

Рассмотренные выше формулы для определения ошибки измерения используют характеристики нормального распределения случайной величины. Однако неизвестно, по какому закону распределены результаты измерений. Поэтому эти оценки являются приближенными. В связи с этим возникает необходимость анализа этого подхода к определению погрешности измерения. Для такого анализа можно использовать известное в теории вероятностей понятие доверительного интервала. Пусть величина равна вероятности того, что результат измерения – среднее значение – отличается от истинного значения на величину не большую . В теории вероятностей эта фраза записывается следующим образом:

или

.

Величина называется доверительной вероятностью (надежностью) результата серии наблюдений. Она показывает вероятность, с которой доверительный интервал включает истинное значение измеряемой величины.

Доверительным интервалом называется интервал значений , который с заданной степенью достоверности включает в себя истинное значение измеряемой величины. Геометрическое представление этого интервала дано на рисунке 1.

Таким образом, для определения случайной погрешности необходимо найти или задать два числа: а именно величину самой случайной погрешности или доверительного интервала и величину доверительной вероятности.

Для любой величины доверительного интервала можно рассчитать доверительную вероятность. Для этого используется функция Лапласа, которая также называется интегралом вероятностей. Функция Лапласа имеет вид:

,

где . Чаще всего, при решении задач используют табличные значения функции Лапласа. Эти значения приведены в таблице 1.

Результаты этой таблицы показывают, что средней квадратичной ошибке соответствует доверительная вероятность 0,68, удвоенной средней квадратичной ошибке 2 соответствует доверительная вероятность 0,95, а утроенной средней квадратичной ошибке 3 – 0,997.

Таблица 1

Доверительные вероятности для доверительного интервала, выраженного в долях средней квадратичной ошибки . Функция Лапласа

Случайную погрешность принято определять как полуширину доверительного интервала. Размер доверительного интервала задается в виде значения кратного выборочному среднему квадратичному отклонению среднего значения , которое определяется по формуле (6.5). Тогда случайная погрешность многократных измерений определяется формулой:

, (6.6)

где – безразмерный коэффициент доверия.

Этот коэффициент был предложен в 1908 году английским математиком и химиком В.С Госсетом. Он публиковал свои работы под псевдонимом «Стьюдент», поэтому коэффициент называется коэффициентом Стьюдента.

Коэффициент доверия или коэффициент Стьюдента показывает во сколько раз нужно увеличить среднее квадратичное отклонение среднего значения, чтобы при заданном числе измерений получить заданную надежность их результата. При расчете случайной погрешности задается надежность измерений , которая в зависимости от целей измерений и требований к ним принимает значения, равные 0,9; 0,95; 0,96; 0,98; 0,99; 0,997; 0,999.

Коэффициент доверия имеет сложную зависимость от надежности и от числа измерений . Она выводится в теории вероятностей. Его значения для практических расчетов выбираются по статистическим таблицам, в которые внесены значения коэффициента Стьюдента для различной надежности . Здесь приводится эта таблица коэффициентов доверия или коэффициентов Стьюдента.

Из приведенных рассуждений следует, что чем больше доверительная вероятность, тем надежнее оценка интервала и тем шире его границы.

Таблица 2

Коэффициент доверия (Коэффициент Стьюдента)

Таким образом, абсолютная погрешность случайных ошибок определяется по формуле:

. (6.6)

Эту формулу можно использовать для планирования эксперимента. Используя ее можно оценить, какое количество измерений нужно выполнить, чтобы абсолютная погрешность случайных ошибок была бы меньше абсолютной погрешности систематических ошибок.

6.3. Определение полной погрешности

Полная абсолютная погрешность прямого измерения равна квадратному корню из суммы квадратов инструментальной погрешности и случайной погрешности, т. е. полная погрешность прямого измерения, определяется формулой:

. (6.7)

Кроме абсолютной погрешности, необходимо определить относительную погрешность, для чего воспользуемся определением относительной погрешности:

. (6.8)